如何计算概率
把弹珠放进袋子,不看就摸一颗,实时看着机会变化。一个免费的互动工具,适合小学到初中数学。
试一试:装好袋子,开始抽
设定每种颜色的数量,决定每颗要不要放回,然后看看每次抽取后机会怎么变。再用下方的预测器,一步步算出「与」、「或」类问题的答案。
弹珠袋
把弹珠放进袋子,不看就摸一颗出来。每种颜色的机会取决于袋子里有多少颗这种颜色 — 也取决于摸完之后有没有把弹珠放回袋子。
袋子里有 12 颗弹珠
下次抽取时每种颜色的机会
袋子内容
12 / 30 颗弹珠抽取记录会显示在这里。
预测一下机会
把弹珠拖进圆圈里(也可以点一下添加)。每一列代表一次抽取。把两颗弹珠放在同一列,就表示「这两种颜色都算」。
或 = +·与 = ×
可拖的弹珠 — 袋子里还剩 12 颗
把一颗弹珠放进格子里就可以开始了。
不放回 — 机会会变化
弹珠一旦被摸出来就不再放回,袋子就变了。下一次抽取时每种颜色的机会会随之上升或下降,取决于刚才摸出了什么。
什么是概率?
概率就是用一个数字来表示机会的大小。有些事一定会发生 — 抛出去的硬币一定会落下来。有些事一定不会发生 — 袋子里没有的弹珠,永远摸不出来。介于两者之间的每一件事,概率都给它一个数字,告诉你它有多大可能发生。
概率是 0 到 1 之间的一个分数
概率永远是 0 到 1 之间的一个数。0 表示根本不可能发生,1 表示一定会发生,中间的都是分数。
试试上面的袋子。放进 五颗红色弹珠和 七颗蓝色弹珠,摸到红色的机会就是 12 颗里的 5 颗 — 写成分数就是 5/12。摸到蓝色的机会是 7/12。把两个加起来得到 12/12,正好是 1 — 因为这两种颜色总有一种会被摸出来。
例子: 袋子里有 5 颗红、7 颗蓝 → P(红) = 5/12。
概率刻度:从不可能到必然
用平常的话描述概率时,你会经常看到这五个词:
- 不可能 — 概率为 0。袋子里没有绿色弹珠,就永远摸不到绿色。
- 不太可能 — 概率小于 1/2。
- 一半一半 — 概率正好是 1/2。比如公平的硬币落在正面。
- 很可能 — 概率大于 1/2。
- 必然 — 概率为 1。袋子里只有红色弹珠,就一定摸到红色。
这五个词在小学的每一份测验里都会出现。只要你算出了分数,配上哪个词不过是贴个标签而已。
数一数袋子里的弹珠
整个游戏的关键就是数数。有多少颗弹珠是你想要的?那是分数的上面(分子)。一共有多少颗?那是下面(分母)。上面除以下面,就得到概率了。每颗弹珠被摸到的机会都一样,所以你只需要数。
怎么计算概率
学会数弹珠以后,每一道概率题都属于三种模式之一:单个事件、两个事件用「与」连起来,或者两个事件用「或」连起来。
单个事件:想要的 ÷ 总数
对于单次抽取,数完就算完了。数出想要的结果(你想要的那种颜色的弹珠),除以总数(袋子里所有弹珠),那就是概率。
例子: 袋子里有 5 颗红、4 颗蓝、3 颗绿 → P(红) = 5/12,P(蓝) = 4/12 = 1/3,P(绿) = 3/12 = 1/4。
两个事件与「与」法则(相乘)
当一道题问两件事都发生的机会时,你要相乘。公平硬币连续两次正面的机会是 1/2 × 1/2 = 1/4。从袋子里先摸红再摸红的机会 — 有放回,所以袋子保持不变 — 就是 P(红) × P(红)。
例子: 袋子里有 5 颗红、7 颗蓝,有放回地抽两次 → P(红,红) = 5/12 × 5/12 = 25/144。
注意,得数比你一开始的两个分数都小。两个分数相乘,结果总是更小 — 这很合理:要两件事同时发生,比只要一件难,所以机会变小了。
两个事件与「或」法则(相加)
当一道题问一件事或另一件事发生的机会时 — 而且这两件事不可能同时发生 — 你要相加。摸一颗弹珠只会得到一种颜色,所以红和蓝是互斥的,它们的概率可以加起来。
例子: 袋子里有 5 颗红、4 颗蓝、3 颗绿 → P(红或蓝) = 5/12 + 4/12 = 9/12 = 3/4。
注意,得数比单独的任何一个分数都大。两个分数相加,结果更大 — 这很合理:只要其中任何一种结果都算数,你成功的途径就更多,所以机会变大了。
一个好记的方法:「与」是 ×,「或」是 +。
放回与不放回
概率题在这里分成了两派 — 也是最容易丢分的地方。措辞上只有一点点差别,算法却不一样。
有放回:袋子保持不变(独立事件)
如果你在下次抽取前把弹珠放回去,袋子就和之前一模一样。每次抽取的概率都相同。这两次抽取是独立的 — 第一次发生了什么,不会改变第二次可能出现的结果。
对一个有 5 颗红、7 颗蓝的袋子,有放回地连续两次摸到红的机会是 5/12 × 5/12 = 25/144。两次都是 5/12,因为袋子没有任何变化。
不放回:袋子会改变(相依事件)
如果你把弹珠留在外面,袋子就变小了,各颜色的数量也变了。第二次的概率要从新的袋子来算。这两次抽取是相依的 — 第一次的结果会影响第二次可能出现的情况。
袋子里有 8 颗红、2 颗蓝。先摸到红 → 袋子现在剩 7 颗红、2 颗蓝。第二次再摸到红的机会是 7/9,而不是 8/10。
例子: 袋子里有 8 颗红、2 颗蓝,不放回地先摸红再摸红 → 8/10 × 7/9 = 56/90 = 28/45。
为什么这在奖学金考试和九年级数学里很重要
ACER、Edutest 和 AAS 的奖学金数学部分很爱出彩色计数器的题目。澳大利亚课程在九年级正式引入放回与不放回。有时题目会写明(「有放回」「不放回」);有时要你自己判断 — 「摸两颗弹珠」通常指不放回(你不可能再摸出一颗已经在你手里的弹珠)。答题前请把题目读两遍。
例题详解:先摸红,再摸蓝(不放回)
袋子里有 8 颗红色弹珠和 2 颗蓝色弹珠。一颗接一颗地摸两颗,第一颗不放回去。先摸到红再摸到蓝的概率是多少?
- 1
理清题目
一开始有 8 颗红色弹珠和 2 颗蓝色弹珠 — 一共 10 颗。我们要的是:第一次摸到红,而且第二次摸到蓝,中间不把第一颗放回去。
- 2
求第一次摸到红的概率
10 颗里有 8 颗红色。P(第一次红) = 8/10。约分后是 4/5。
- 3
更新袋子
那颗红色弹珠现在出来了。袋子里剩 7 颗红色和 2 颗蓝色 — 一共 9 颗。分母少了 1,红色的数量也少了 1。
- 4
求第二次摸到蓝的概率
从更新后的袋子里,9 颗里有 2 颗蓝色。P(摸红之后第二次蓝) = 2/9。
- 5
用「与」把两次相乘
要算两件事都发生的机会,就把路径上的两个概率相乘:P(先红再蓝) = 4/5 × 2/9 = 8/45,大约是 17.8%。关键要点:当一次抽取改变了袋子,就用改变后的袋子算第二个概率 — 然后相乘。
要避开的常见错误
「我一直摸到红,下次该轮到蓝了吧」
这是赌徒谬误。有放回地抽(或者抛硬币、掷骰子)时,每一次都是独立的 — 弹珠放回去了,袋子完全一样,从来没有什么「该轮到」。连摸几次红,并不会让蓝更有可能。不放回是唯一一种抽完之后机会真的会变的情况 — 但那是因为袋子实实在在少了一颗弹珠,不是因为运气会扯平。
把「与」和「或」搞混
「与」是相乘,「或」是相加。P(先红再蓝)把两个机会相乘;P(一次摸到红或蓝)把它们相加。在上面的预测器里两种都搭搭看,留意页面用的是哪种运算 — 序列用相乘,备选用相加。
忘了有没有把弹珠放回去
这是两次抽取题里最常犯的错。有时题目直接写明;有时要你从措辞里读出来。「摸两颗弹珠」几乎总是指不放回 — 你不可能再摸出一颗已经在你手里的弹珠。
概率接下来会学到什么
袋子是进入概率的一个入口。等你熟练了,同样的想法到处都用得上 — 掷骰子、抛硬币、转盘、天气预报、体育数据。从这里出发,你可以学到树状图(把每一种可能结果都画出来)、两颗骰子的样本空间(36 种结果),以及理论概率与实验概率的区别(数学算出来的,和实际试很多次以后真正发生的)。
想按年级复习,可以进入我们的五年级或六年级数学指南,浏览完整的澳大利亚课程目录,或者开始一次免费的练习测试,试试学校测评和奖学金考试里会出现的概率题。
概率词汇表
概率题里最常出现的词 — 以及每个词用大白话讲是什么意思。
- 概率
- 一个 0 到 1 之间的数,表示某件事发生的可能性有多大。
- 结果
- 一次抽取的一种可能结果(比如摸出一颗红色弹珠)。
- 样本空间
- 所有可能结果的完整清单(如果袋子里有红、蓝、绿三种颜色,就是这三种)。
- 事件
- 你关心的一个或多个结果(比如「摸到红或蓝」)。
- 抽取
- 从袋子里摸一次。
- 独立事件
- 一个结果不会改变下一个的机会(有放回的抽取)。
- 相依事件
- 一个结果会改变下一个的机会(不放回的抽取)。
- 有放回
- 在下次抽取前把弹珠放回去,所以袋子保持不变。
- 不放回
- 把弹珠留在外面,所以下次抽取时袋子变了。
- 互斥
- 两个不可能同时发生的事件(一颗弹珠是红或蓝,不会既红又蓝)。
- 想要的结果
- 你在数的那些结果(如果你要 P(红),就是那些红色弹珠)。
- 公平(无偏)
- 每颗弹珠被摸到的机会都一样 — 这就是「不看就摸」的意思。
常见问题
什么是概率?
一个 0 到 1 之间的数,告诉你某件事的可能性有多大。0 表示不可能发生;1 表示一定会发生。中间的都是分数 — 比如从 12 颗(其中 5 颗红)的袋子里摸到红,就是 5/12。
怎么计算概率?
数出你想要的结果(想要的),再除以结果的总数。P(A) = 想要的 ÷ 总数。对一个 5 红 7 蓝的袋子,P(红) = 5/12。
有放回和不放回有什么区别?
有放回时,你把弹珠放回去,所以袋子保持不变,每次抽取的机会都一样。不放回时,你把弹珠留在外面,所以袋子变了,机会也跟着变。
两次抽取的概率怎么算?
把第一次的机会乘以第二次的机会。有放回时机会保持不变;不放回时,用第一次抽取之后袋子里新的数量来算。
「P(红或蓝)」是什么意思?
把两个机会相加。如果袋子里有 5 红、4 蓝、3 绿,那么 P(红或蓝) = 5/12 + 4/12 = 9/12 = 3/4。「或」用相加(互斥),「与」用相乘。
弹珠的抽取公平吗?
公平 — 这个工具每次都从袋子里随机摸一颗,每颗弹珠机会均等。这正是概率题里「不看就摸」的意思。
ACER、Edutest 或 AAS 奖学金考试会考概率吗?
会 — 在六年级和七年级入学的程度,概率与机会的题目会出现在数学或数字推理部分。彩色计数器的放回与不放回是很经典的题型。
在澳大利亚课程里几年级学概率?
从预备年级起就开始:先是机会词汇(很可能 / 不太可能),到五年级会列举结果,七年级学样本空间,九年级正式引入放回与不放回 — 也就是这个工具演示的概念。